algebra
Panoramica
L’algebra studia le strutture algebriche. Si parte dai gruppi, con sottogruppi, quozienti, omomorfismi e teoremi fondamentali, soffermandosi sui gruppi ciclici, i teoremi di Lagrange, Cauchy e Sylow. Si passa poi agli anelli, ai loro ideali e ai domini ad ideali principali, introducendo anche i campi e le loro proprietà. Un ruolo centrale è dato all’anello degli interi e all’aritmetica modulare, con strumenti come l’algoritmo di Euclide, l’identità di Bezout, il piccolo teorema di Fermat e il teorema cinese dei resti. Ampio spazio è riservato ai polinomi: divisione euclidea, radici e fattorizzazione, il lemma di Gauss, i criteri di irriducibilità e il teorema fondamentale dell’algebra. Si studiano poi polinomi in più variabili, i relativi ideali e le proprietà di UFD e PID. La seconda parte del corso riguarda le estensioni di anelli e campi, elementi algebrici e trascendenti, polinomi minimi ed estensioni algebriche. Si introduce la teoria dei campi di spezzamento e dei campi finiti, con il teorema dell’elemento primitivo e la costruzione dei campi di Galois.
Argomenti
Gruppi
gruppo, gruppo abeliano e sottogruppo
laterali destri e sinistri
sottogruppi coniugati
ordine di un gruppo
partizione
relazione
relazione di equivalenza
classe di equivalenza, rappresentante e quoziente
relazione di equivalenza compatibile e gruppo quoziente
teorema di Lagrange di cardinalità
omomorfismo di gruppi
teorema di omomorfismo di gruppi
teorema di corrispondenza
ordine di un elemento g
sottogruppo generato
gruppo ciclico
Anelli e ideali
anello
sottoanello
ideali destri e sinistri
ideale
anello quoziente
divisore dello zero
dominio di integrità
omomorfismo di anelli
ideale generato
ideale principale, massimale e primo
dominio ad ideali principali (PID)
elemento unitario o invertibile
Campi
campo
teorema degli ideali di un campo
Teoria dei numeri
irriducibile e primo
MCD
elementi associati
divisione euclidea
algoritmo di Euclide
coprimi
identità di Bezout
teorema irriducibile implica primo Z
costruzione degli anelli
insieme invertibili rispetto al prodotto
congruenza modulo m
anello quoziente Z su mZ
funzione totiente di Eulero
teorema di Eulero
piccolo teorema di Fermat
esempi d’uso del teorema di Eulero e di Fermat
teorema cinese dei resti
formulazione algebrica del teorema cinese dei resti
gruppo finito
gruppo diedrale
condizioni per l’inverso del teorema di Lagrange
teorema di Cauchy
teorema dei sottogruppi nei gruppi abeliani finiti
teoremi di Sylow