derivata parziale

Definizione

Sia $\{{\underline{e}}_1,\dots ,{\underline{e}}_N\}$ la base canonica o standard di ${\mathbb{R}}^N$ e sia $\underline{v}={\underline{e}}_{i}i=1,\dots ,N$.
Si pone, qualora esista

$\frac{\partial f}{\partial {\underline{e}}_i}(\underline{x^0})=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_1^0,\dots ,x_{i-1}^0,x_i^0+t,x_{i+1}^0,\dots ,x_N^0)-f(x_1^0,\dots ,x_i^0,\dots ,x_N^0)}{t}$

$x_i=x_i^0+t$

$=\underset{x_i\to x_i^0}{\lim }\frac{f(x_1^0,\dots ,x_{i-1}^0,x_i,x_{i+1}^0,\dots ,x_N^0)-f(x_1^0,\dots ,x_i^0,\dots ,x_N^0)}{x_i-x_i^0}=\frac{\partial f}{\partial x_i}(\underline{x^0})=f_{x_i}(x^0)$

Esempio: $f(x,y,z)=x^2+zx+zy+z^5\frac{\partial f}{\partial x}=2x+z\frac{\partial f}{\partial y}=z\frac{\partial f}{\partial z}=x+y+5z^4$

Risorse