gradiente

Definizione

Sia $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R}$, con $A$ aperto e $\underline{x_0}\in A$.
Se $f$ è differenziabile in $\underline{x_0}$, allora esistono tutte le derivate parziali

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\underline{x_0})=df(\underline{x_0})({\underline{e}}_i)=a_i,i=1,\dots ,N$$

e la trasformazione lineare $L=df(\underline{x_0})$ è rappresentata dal gradiente:

$$\nabla f(\underline{x_0})=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\underline{x_0}),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_N}(\underline{x_0})\right)$$

Osservazioni importanti:

1. Derivata direzionale: per ogni $\underline{v}\in {\mathbb{R}}^N$, $\Vert \underline{v}\Vert =1$,

$$\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(\underline{x_0})=⟨\nabla f(\underline{x_0}),\underline{v}⟩$$

2. Formula lineare della differenziale:

$$df(\underline{x_0})(\underline{h})=\sum _{i=1}^N\frac{\partial f}{\partial x_i}(\underline{x_0})h_i=⟨\nabla f(\underline{x_0}),\underline{h}⟩,\underline{h}=(h_1,\dots ,h_N)$$

3. Espansione di Taylor al primo ordine:

$$f(\underline{x})=f(\underline{x_0})+⟨\nabla f(\underline{x_0}),\underline{x}-\underline{x_0}⟩+o(\Vert \underline{x}-\underline{x_0}\Vert )$$

4. Equazione del piano tangente se $N=2$:

$$z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Nota: Se $f$ non è differenziabile in $\underline{x_0}$, non è detto che valga la formula del gradiente.

Esempio: Consideriamo

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

• $f$ è continua in $(0,0)$.
• Derivate parziali in $(0,0)$: $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0\Rightarrow \nabla f(0,0)=(0,0)$.
• $f$ non è differenziabile in $(0,0)$: il limite della differenziale non esiste lungo certe direzioni.
• Formula del gradiente non valida: ad esempio, per $\underline{v}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$,

$$\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(0,0)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ne ⟨\nabla f(0,0),\underline{v}⟩=0$$

Risorse