distanza, palla, intorno e retta estesa in R

Definizioni

Definizione
Siano $x,y\in \mathbb{R}$, chiamo distanza (euclidea) di $x$ e $y$ li valore $d(x,y)=|x-y|$.

Proprietà
$d(x,y)\ge 0$
$d(x,y)=0\iff x=y$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ disuguaglianza triangolare

Osservazione
Distanza in $\mathbb{C}$

$d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|$

valgono le stesse proprietà.

Definizione
Sia $x_0\in \mathbb{R}$, sia $r>0$

chiamo intorno centrato aperto di centro $x_0$ e raggio $r$ l’insieme

$]x_0-r,x_0+r[=\{x\in \mathbb{R}:d(x,x_0)<r\}$

è detto palla di centro $x_0$ e raggio $r$,

è l’insieme di tutti i punti di $\mathbb{R}$ che hanno distanza da $x_0$ minore di $r$.

Osservazione
Su $\mathbb{C}$, la palla di centro $x_0$ e raggio $r$ è un cerchio.

Definizione
Sia $x_0\in \mathbb{R}$,
chiamo intorno di $x_0$ un qualunque insieme di $\mathbb{R}$ che contiene una palla aperta di centro $x_0$ e raggio $r$.

Definizione
Chiamo $\tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, retta estesa.

Definizione
Chiamo intorno di $+\infty$ un qualunque sottoinsieme di $\mathbb{R}$ che contiene una semiretta $]a,+\infty [$.
Analogamente per $-\infty$.

Risorse