elementi associati

Definizione

Sia $A$ un dominio d’integrità. Due elementi $a,b\in A$ si dicono associati se esiste un elemento unitario $u\in A$ tale che $a=ub$.

Osservazione

In $\mathbb{Z}$ gli unici elementi unitari sono $1$ e $-1$, dunque tutte e sole le coppie di elementi associati in $\mathbb{Z}$ sono della forma $a$, $-a$.

Osservazione

Il massimo comun divisore di due numeri è unico a meno di elementi associati.

Infatti siano $a,b\in A$ e sia $MCD(a,b)=d=\delta$. Abbiamo per definizione che $d\mid \delta$ e anche $\delta \mid d$. Esistono allora due elementi $a,\alpha$ tali che $d=\alpha \delta$ e $\delta =ad$. Combinando le due identità otteniamo $d=\alpha ad$, ed essendo in un dominio d’integrità vale la cancellazione: $1=\alpha a$. Dunque $a,\alpha$ sono elementi unitari, ricordando che $d=\alpha \delta$ e $\delta =ad$ si ha che $d$ e $\delta$ sono per definizione associati.

Risorse