esempi di applicazioni continue

Esempi

Applicazioni affini

• Applicazioni affini reali $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, $f(x)=Ax+b$ con $A\in M_{m,n}(\mathbb{R})$ e $b\in {\mathbb{R}}^m$, sono continue (applicazione lineare e traslazione)
• Idem per applicazioni affini complesse ${\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^m$ (o in qualsiasi campo $\mathbb{K}$)
• Affinità reali $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$, $f(x)=Ax+b$ con $A\in G{L}_n(\mathbb{R})$ e $b\in {\mathbb{R}}^n$, sono omeomorfismi (l’inversa è anch’essa affinità quindi continua), $G{L}_n(\mathbb{K})=\{A\in M_n(\mathbb{K})\mid A\text{ invertibile}\}$ gruppo generale lineare di ordine $n$ su $\mathbb{K}$
• Idem per affinità complesse ${\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^n$ (o in qualsiasi campo $\mathbb{K}$)
• In particolare, per $b=0$, le applicazioni lineari ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ sono continue e gli automorfismi lineari ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ sono omeomorfismi (idem su $\mathbb{C}$)

Esempi notevoli

• $\exp :\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $\exp (x)=e^x$ è continua e infatti è omeomorfismo con inversa $\log :(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, pure essa continua $\Rightarrow \mathbb{R}\cong (0,+\infty )$.
• $g:(0,1)\to (0,+\infty )$, $g(x)=\frac{x}{1-x}$ omeomorfismo con inversa $g^{-1}(y)=\frac{y}{1+y}$ continua.

Risorse