estremo superiore ed estremo inferiore in R

Definizioni

Definizione
Sia $A$ superiormente limitato,
chiamo estremo superiore di $A$ il minimo dei maggioranti di $A$.

Definizione
Sia $A$ inferiormente limitato,
chiamo estremo inferiore di $A$ il massimo dei minoranti di $A$.

Osservazione
Sia $A$ un insieme, supponiamo che ${\mu }_1$ e ${\mu }_2$ siano due massimi,
sia ha ${\mu }_1={\mu }_2$, cioè il massimo, se esiste, è unico.

infatti

${\mu }_1$ è massimo $\Rightarrow {\mu }_1$ è maggiorante
${\mu }_2$ è massimo $\Rightarrow {\mu }_2\in A$
$\Rightarrow {\mu }_2\le {\mu }_1$

e viceversa

${\mu }_1$ è massimo $\Rightarrow {\mu }_1\in A$
${\mu }_2$ è massimo $\Rightarrow {\mu }_2$ è minorante
$\Rightarrow {\mu }_1\le {\mu }_2$

perciò ${\mu }_1={\mu }_2$, quindi il massimo è unico.

Risorse