formule di Taylor in R

Teoremi

Lemma di Peano

Sia $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ intervallo, $x_0$ in $I$,
sia $f$ derivabile fino all’ordine $n$ in $I$,
supponiamo $f(x_0)=0,f^{\prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime }(x_0)=0,\dots ,f^{(n)}(x_0)=0$

allora $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^n}=0$

Dimostrazione
Voglio calcolare $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^n}$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$
$\underset{x\to x_0}{\lim }(x-x_0{)}^n=0$

posso applicare Hopital,
$\stackrel{H}{\Leftarrow }\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{n(x-x_0{)}^{n-1}}$
resta sempre una forma indeterminata $\frac{0}{0}$,
continuo ad applicare Hopital
$\stackrel{H}{\Rightarrow }\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{n(n-1)(x-x_0{)}^{n-2}}$
$\stackrel{H}{\Rightarrow }\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{(n-1)}(x)}{n(n-1)(n-2)\dots 2(x-x_0)}$

trovo che

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^n}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{n!}\frac{f^{(n-1)}(x)}{(x-x_0)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{n!}\boxed{\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{(x-x_0)}}$

la parte evidenziata è $R_{x_0}^{f^{(n-1)}}(x)$ che è uguale a zero, perciò

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{(x-x_0)}=f^{(n)}(x_0)=0$

$\square$

Formula di Taylor con il resto di Peano

Teorema
Sia $g:I\to \mathbb{R}$, $I$ intervallo, $x_0$ in $I$,
sia $g$ derivabile fino all’ordine $n$ in $I$,
allora $\forall x\in I\setminus \{x_0\}$,

$g(x)=g(x_0)+g^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{g}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\frac{1}{3!}{g}^{(3)}(x_0)(x-x_0{)}^3+\dots +\frac{1}{n!}{g}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\underset{\text{resto di Peano}}{\underbrace{r_n(x_0,x)}}$

(polinomio di Taylor di grado $n$ con resto nella forma di Peano)

$r_n(x_0,x)$ è il resto di Peano,
dove $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{r_n(x_0,x)}{(x-x_0{)}^n}=0$

Dimostrazione
Chiamo $f(x)=g(x)-(g(x_0)+g^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\dots +\frac{1}{n!}{g}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n)$
questa è derivabile fino all’ordine $n$
$f(x_0)=g(x_0)-(g(x_0)+g^{\prime }(x_0)(x_0-x_0)+\dots +\frac{1}{n!}{g}^{(n)}(x_0)(x_0-x_0{)}^n)=$
$=g(x_0)-g(x_0)=0$

$f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)-(0+g^{\prime }(x_0)+0+\dots )$

$f^{\prime \prime }(x_0)=g^{\prime \prime }(x_0)-(0+0+g^{\prime \prime }(x_0)+\frac{1}{3}{g}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\ast (x-x_0{)}^{n-2})=0$

$f^{(n)}(x_0)=0$

Posso applicare il lemma di Peano, ho
$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)-(g(x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{g}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n)}{(x-x_0{)}^n}=0$

$\square$

Lemma di Lagrange

Sia $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ intervallo, $x_0$ in $I$,
$f$ derivabile fino all’ordine $n+1$,
sia $f(x_0)=f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\dots =f^{(n+1)}(x_0)$,

allora $\forall x\in I\setminus \{x_0\}$,
$\exists \xi \in ]x_0,x[$ (oppure $\xi \in ]x,x_0[$)
tale che
$\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^{n+1}}=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$

Dimostrazione
Applicando Cauchy, con $x_0<\xi <x$
$\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^{n+1}}=\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0{)}^{n+1}-(x_0-x_0{)}^{n+1}}=\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{(n+1)({\xi }_1-x_0{)}^n}$

applicando nuovamente Cauchy, con $x_0<{\xi }_1<{\xi }_2<x$
$=\frac{f^{\prime }(\xi )-f^{\prime }(x_0)}{(n+1)((\xi -x_0{)}^n-(x_0-x_0{)}^n)}=\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)}{(n+1)n({\xi }_2-x_0{)}^{n-1}}$

applicando nuovamente Cauchy, con $x_0<{\xi }_1<{\xi }_2<x$
$=\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)-f^{\prime \prime }(x_0)}{(n+1)n(({\xi }_2-x_0{)}^{n-1}-(x_0-x_0{)}^{n-1})}=\frac{f^{\prime \prime \prime }({\xi }_3)}{(n+1)n(n-1)({\xi }_3-x_0{)}^{n-2}}$

sempre applicando Cauchy, vado avanti fino a
$\frac{f^{(n)}({\ni }_n)}{(n+1)!({\xi }_n-x_0)}$

$\frac{f(x)}{(x-x_0{)}^{n+1}}=\frac{f^{(n)}({\xi }_n)}{(n+1)!({\xi }_n-x_0)}=\frac{1}{(n+1)!}\frac{f^{(n)}({\xi }_n)-f^{(n)}(x_0)}{({\xi }_n-x_0)}$

applico Lagrange e ottengo

$=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}({\xi }_{n+1})$,

con $x_0<{\xi }_{n+1}<{\xi }_n<\cdots <x$

$\square$

Formula di Taylor con il resto di Lagrange

Teorema
Sia $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ intervallo, $x_0$ in $I$,
sia $f$ derivabile fino all’ordine $n+1$,
allora $\forall x\in I\setminus \{x_0\}$,
$\exists \xi \in ]x_0,x[$ (oppure $\xi \in ]x,x_0[$)
tale che

$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\underset{\text{resto di Lagrange}}{\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}}}$

(polinomio di Taylor con resto nella forma di Lagrange)

Dimostrazione
$f$ è derivabile fino all’ordine $n+1$

scrivo $g(x)=f(x)-(f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n)$

ora la $g$ è derivabile fino all’ordine $n+1$

$g(x_0)=0$
$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-(0+f^{\prime }(x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}2(x-x_0)+\dots )$
$g^{\prime }(x_0)=0$

facendo i conti
$g^{\prime \prime }(x_0)=0,g^{(3)}(x_0)=0,\dots ,g^{(n)}(x_0)=0$

Applico il lemma di Lagrange a $g$

$g(x)=\frac{g^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$

quindi

$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\boxed{\frac{g^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}}$

Osservazione
$g(x)=f(x)-(\text{polinomio di Taylor})$
$g^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)-(\text{polinomio di grado }n)$
$(\text{polinomio di grado }n)=0$
$g^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)$

$\square$

Risorse