geometria del piano affine

Definizione

n ${\mathbb{A}}^2$, dim $A=2$. Sia $S$ un sottospazio affine. Abbiamo tre possibilità:

• dim $S=0$: $S$ è un punto.
• dim $S=1$: $S$ è una retta.
• dim $S=2$: $S={\mathbb{A}}^2$.

Retta in ${\mathbb{A}}^2$
Una retta $S$ è determinata da un punto $Q=(q_1,q_2)$ e dalla sua giacitura $W$. Dato che dim $S=1$, allora dim $W=1$, quindi $W=\text{Span}(v)$, dove $v=(l,m)$. Le equazioni parametriche di un punto $P=(x,y)\in S$ sono:

• $x=q_1+lt$
• $y=q_2+mt$

Per ottenere l’equazione cartesiana, consideriamo il vettore $\overrightarrow{QP}=(x-q_1,y-q_2)$ e imponiamo che sia linearmente dipendente con $v=(l,m)$. Questo equivale a imporre che la matrice $\left(\begin{array}{cc}x-q_1& l\\ y-q_2& m\end{array}\right)$ abbia rango 1, ovvero che il suo determinante sia nullo:

$m(x-q_1)-l(y-q_2)=0$

Questa è l’equazione cartesiana della retta.

Rette Parallele in ${\mathbb{A}}^2$
Due rette $r$ e $s$ in ${\mathbb{A}}^2$ sono parallele se e solo se hanno la stessa giacitura.

Rette Incidenti in ${\mathbb{A}}^2$
Due rette distinte non parallele in ${\mathbb{A}}^2$ si intersecano in un unico punto.

geometria dello spazio affine

Risorse