gruppo diedrale

Definizione

Il gruppo diedrale $D_n$ è il gruppo di simmetrie di un poligono regolare di $n$ lati. Esso consiste di:

• $n$ rotazioni
• $n$ riflessioni

per un totale di $2n$ elementi.

Elementi del gruppo

$$D_n=\{r^0,r^1,r^2,\dots ,r^{n-1},s,sr,s{r}^2,\dots ,s{r}^{n-1}\}$$

dove:

• $r$ = rotazione di $\frac{2\pi }{n}$ radianti
• $s$ = riflessione rispetto ad un asse di simmetria
• $r^n=e$ (elemento neutro)
• $s^2=e$
• $srs=r^{-1}$

Ordine del gruppo

$$|D_n|=2n$$

Esempi

$D_3$ - Triangolo equilatero

• 6 elementi: 3 rotazioni + 3 riflessioni
• Rotazioni: $0^{\circ }$, $120^{\circ }$, $240^{\circ }$
• Riflessioni: rispetto alle 3 altezze

$D_4$ - Quadrato

• 8 elementi: 4 rotazioni + 4 riflessioni
• Rotazioni: $0^{\circ }$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$
• Riflessioni: rispetto alle 2 diagonali e alle 2 rette per i punti medi

$D_5$ - Pentagono regolare

• 10 elementi: 5 rotazioni + 5 riflessioni

Proprietà

• Non abeliano per $n\ge 3$
• Presentazione: $⟨r,s\mid r^n=e,s^2=e,srs=r^{-1}⟩$
• Sottogruppo ciclico delle rotazioni: $C_n$ di ordine $n$

Risorse