insieme dei numeri razionali

Definizione

$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\mid a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\right\}$

Insieme dei numeri razionali, cioè i rapporti tra due interi, con denominatore non nullo.
Estensione di $\mathbb{Z}$ che permette la divisione (tranne per 0).

Su $\mathbb{Q}$ sono definite le stesse operazioni di somma e prodotto:

• Somma:
  $+:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$
  $(a,b)\mapsto a+b$

• Prodotto:
  $\cdot :\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$
  $(a,b)\mapsto a\cdot b$

Le operazioni sono:

• associative
• commutative
• hanno elementi neutri ($0$ per $+$, $1$ per $\cdot$)
• ogni elemento $a\ne 0$ ha un inverso moltiplicativo $\frac{1}{a}$

Distributività:

$\forall a,b,c\in \mathbb{Q},a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

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Su $\mathbb{Q}$ è definito un ordinamento totale $\le$ compatibile con le operazioni:
quindi $(\mathbb{Q},+,\cdot ,\le )$ è un campo ordinato archimedeo.

Vale:

• Compatibilità con l’addizione:
  $a\le b\Rightarrow a+c\le b+c$

• Compatibilità con la moltiplicazione per positivi:
  $0\le a,b\le c\Rightarrow a\cdot b\le a\cdot c$

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Osservazione

$\mathbb{Q}$ è denso:
$\forall a,b\in \mathbb{Q},a<b\Rightarrow \exists c\in \mathbb{Q}\text{ con }a<c<b$

Tra due razionali esiste sempre un altro razionale.

Ma non è completo:
ci sono successioni di razionali che non convergono in $\mathbb{Q}$,
come la successione di razionali che tende a $\sqrt{2}$.

Risorse