insieme invertibili rispetto al prodotto

Definizione

Fissato un numero $m$ definiamo

$$U_m=\{[a{]}_{{\rho }_m}\in {\mathbb{Z}}_m:\exists ([a{]}_{{\rho }_m}{)}^{-1}\}$$

come l’insieme degli elementi di ${\mathbb{Z}}_m$ invertibili rispetto al prodotto.

Osservazione

i) Un elemento $[a{]}_{{\rho }_m}\in {\mathbb{Z}}_m$ appartiene ad $U_m⟺\text{MCD}(a,m)=1$, ovvero se e solo se $a,m$ sono coprimi.

ii) $U_m$ è un gruppo rispetto al prodotto di ${\mathbb{Z}}_m$.

Più in generale: Se $(A,+,\cdot )$ è un anello, l’insieme $U$ dei suoi elementi invertibili rispetto al prodotto è un gruppo con tale operazione.

Risorse