integrale di Riemann

Definizioni

Definizione
Sia $[a,b]$ intervallo chiuso e limitato in $\mathbb{R}$,
chiamo suddivisione di $[a,b]$
un insieme finito di punti dentro $[a,b]$,
che contiene sia $a$ che $b$.
$\Delta =\{x_0=a<x_1<x_2<\cdots <x_n=b\}$

Indico con $\mathcal{D}$ l’unione di tutte le suddivisioni di $[a,b]$.

Dico che ${\Delta }_1$ è più fine di ${\Delta }_2$ se ${\Delta }_1\supseteq {\Delta }_2$.

Definizione
Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, limitata,
sia $\Delta$ suddivisione di $[a,b]$,
chiamo somma inferiore per $f$ relativamente a $\Delta$

$s(f,\Delta )=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})\cdot in{f}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$

chiamo somma superiore per $f$ relativamente a $\Delta$

$S(f,\Delta )=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})\cdot su{p}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$

Osservazione
Ogni volta che prendo $\Delta \in \mathcal{D}$
posso calcolare $s(f,\Delta )$ e $S(f,\Delta )$.

Alcune osservazioni
$1)$ $s(f,\Delta )\le S(f,\Delta )$
(perché $in{f}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)\le su{p}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$)

$2)$ se ${\Delta }_1$ è più fine di ${\Delta }_2$
(cioè ${\Delta }_1\supseteq {\Delta }_2$)
allora $s(f,{\Delta }_1)\ge s(f,{\Delta }_2)$
analogamente $S(f,{\Delta }_1)\le S(f,{\Delta }_2)$

$3)$ se prendo due suddivisioni ${\Delta }_1$ e ${\Delta }_2$ qualunque
allora $s(f,{\Delta }_1)\le S(f,{\Delta }_2)$

infatti $s(f,{\Delta }_1)\le s(f,{\Delta }_1\cup {\Delta }_2)\le S(f,{\Delta }_1\cup {\Delta }_2)\le S(f,{\Delta }_2)$

quindi $su{p}_{\Delta \in \mathcal{D}}s(f,\Delta )\le su{p}_{\Gamma \in \mathcal{D}}S(f,\Gamma )$

Definizione
Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, limitata,
se $su{p}_{\Delta \in \mathcal{D}}s(f,\Delta )=su{p}_{\Gamma \in \mathcal{D}}S(f,\Gamma )$,
$f$ si dice integrabile secondo Riemann
e il valore $su{p}_{\Delta \in \mathcal{D}}s(f,\Delta )=su{p}_{\Gamma \in \mathcal{D}}S(f,\Gamma )={\int }_{[a,b]}f={\int }_a^{b}f(x)dx$
lo chiamo integrale (di Riemann) di $f$ sull’intervallo $[a,b]$.

L’insieme delle funzioni integrali lo indico con $\mathcal{R}([a,b])$.

Risorse