interno

Definizione

Si chiama interno di $A$ in $X$ il sottoinsieme, con $U$ aperto:

${\text{Int}}_{X}A:={\bigcup }_{U\subset A}U$

unione di tutti gli aperti di $X$ contenuti in $A$.

Osservazioni

• ${\text{Int}}_{X}A$ è il più grande aperto di $X$ contenuto in $A$
• ${\text{Int}}_{X}A\subset A$ e vale l’uguaglianza $\iff A$ aperto in $X$
• $U\subset A$ e $U$ aperto in $X\Rightarrow U\subset {\text{Int}}_{X}A$
• $x\in {\text{Int}}_{X}A\iff \exists U\subset X$ intorno di $x$ in $X$ t.c. $U\subset A$

Esempi

${\text{Int}}_{\mathbb{R}}[0,1]=(0,1)$
${\text{Int}}_{\mathbb{R}}\{0\}=\varnothing$
${\text{Int}}_{{\mathbb{R}}_l}[0,1]=[0,1)$

Risorse