intervallo in R

Definizione

Siano $a,b\in \mathbb{R}$ con $a<b$,

sono intervalli limitati:

$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}$
$]a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a<x\le b\}$
$[a,b[=\{x\in \mathbb{R}:a\le x<b\}$
$]a,b[=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}$

Sia $a\in \mathbb{R}$,

sono intervalli illimitati:

$]-\infty ,a]=\{x\in \mathbb{R}:x\le a\}$
$]-\infty ,a[=\{x\in \mathbb{R}:a<x\}$
$[a,+\infty [=\{x\in \mathbb{R}:a\ge x\}$
$]a,+\infty [=\{x\in \mathbb{R}:a>x\}$

Osservazione
$\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty [$

Osservazione
Può essere comodo pensare che anche $\{a\}$ (cioè un insieme di un solo punto) è un intervallo “degenere”.

Osservazione
$-\infty$ e $+\infty$ non sono numeri reali, ma soltanto simboli.

Scriviamo $\tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, chiamata “retta estesa”.

Risorse