intorno

Definizione

Sia $X$ spazio topologico, $J\subset X$ è intorno di $x\in X$ se $\exists U\subset X$ aperto t.c. $x\in U\subset J$.

Esempio

$[-1,1]\subset \mathbb{R}$ è intorno di $0$, e di ogni $x\in (-1,1)$, ma non di $-1$ e di $1$.
Infatti $-1\in (a,b)\subset [-1,1]$ è impossibile.

Osservazioni

1. $\varnothing \ne U\subset X$ aperto $\Rightarrow U$ intorno di ogni suo punto.
2. $U\subset X$ aperto $\iff \forall x\in U,\exists J\subset X$ intorno di $x$ in $X$ t.c. $J\subset U$.
3. $U\subset X$ aperto non vuoto è intorno di ogni suo punto (intorno aperto).

Risorse