limite di una successione in R

Definizione

Cosa significa $\underset{n}{\lim }{a}_n=L$ con $L\in \tilde{\mathbb{R}}$?

$\forall V$ di $L,\exists U$ di $+\infty :\forall n,$
$n\in U\Rightarrow a_n\in V$

equivale a dire

$\forall V$ di $L,\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow a_n\in V$

Ci sono tre casi:

$1)$ Supponiamo $L\in \mathbb{R}$

$\underset{n}{\lim }{a}_n=L$
$\Updownarrow$
$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow |a_n-L|<\epsilon$

$2)$ Supponiamo $L=+\infty$

$\underset{n}{\lim }{a}_n=+\infty$
$\Updownarrow$
$\forall M>0,\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow a_n>M$

$3)$ Supponiamo $L=-\infty$

$\underset{n}{\lim }{a}_n=-\infty$
$\Updownarrow$
$\forall M>0,\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow a_n<-M$

Risorse