matrice rotazione

Matrice di rotazione

Definizione

Una matrice di rotazione è una matrice ortogonale speciale che rappresenta una rotazione rigida nello spazio euclideo. Le matrici di rotazione preservano le distanze, gli angoli e l’orientazione.

Rotazione 2D

La matrice di rotazione di un angolo $\theta$ in ${\mathbb{R}}^2$ è:

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

Rotazione 3D

In ${\mathbb{R}}^3$, le matrici di rotazione attorno agli assi coordinati sono:

• Attorno all’asse x:

  $$R_x(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

• Attorno all’asse y:

  $$R_y(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)$$

• Attorno all’asse z:

  $$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Proprietà

• Ortogonalità: $R^{T}R=R{R}^T=I$ (dove $R^T$ è la trasposta)
• Determinante: $\det (R)=1$ (preserva l’orientazione)
• Gruppo: Le matrici di rotazione formano il gruppo speciale ortogonale $SO(n)$
• Composizione: Il prodotto di due matrici di rotazione è ancora una matrice di rotazione
• Inversa: $R^{-1}=R^T$ (l’inversa corrisponde alla rotazione opposta)

Risorse