applicazione lineare

Definizione

Siano $V$ e $V^{'}$ due spazi vettoriali su $K$ ; una funzione

$f : V \to V^{'}$

si dice applicazione lineare se valgono:

$A L 1.$ (additività)

$\forall v_{1}, v_{2} \in V : f (v_{1} + v_{2}) = f (v_{1}) + f (v_{2})$

rispettivamente somma in $V$ e somma in $V^{'}$

“l’immagine della somma è la somma delle immagini”

$A L 2.$ (omogeneità)

$\forall v \in V, \forall λ \in K : f (λ v) = λ f (v)$

rispettivamente moltiplicazione per uno scalare in $V$ e moltiplicazione per uno scalare in $V^{'}$

“l’immagine della moltiplicazione per uno scalare è la moltiplicazione per uno scalare delle immagini”

Definizione
Sia $A \in M_{m, n} (R)$ ; allora $A$ definisce una funzione

$L_{A} : K^{n} \to K^{m}$
$v \mapsto A v$

Proposizione
$\forall A \in M_{m, n} (R)$ , la funzione $L_{A}$ è una applicazione lineare.

Dimostrazione
$L_{A} (v_{1} + v_{2}) = A \cdot (v_{1} + v_{2}) = A \cdot v_{1} + A \cdot v_{2} = L_{A} (v_{1}) + L_{A} (v_{2})$

similmente se $λ \in K$ e $v \in K^{n}$ , vale $L_{A} (λ \cdot v) = λ \cdot L_{A} (v)$

Esempio (rotazione nel piano di un angolo $α$ in senso antiorario)

Sia $α \in R$ e considero la matrice

R_{α} = (cos α sin α - sin α cos α)

l’applicazione lineare $L_{R_{α}} : R^{2} \to R^{2}$ è la rotazione di angolo $α$ in senso antiorario

L_{R_{α}} ((10)) = (cos α - sin α sin α + cos α) (10) = (cos α sin α)

L_{R_{α}} ((01)) = (cos α sin α - sin α cos α) (01) = (- sin α cos α)