primitiva di una funzione integrabile secondo Riemann

Definizione

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$,
sia $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ derivabile,
se $\forall x\in [a,b],F^{\prime }(x)=f(x)$,
allora $F$ si dice primitiva di $f$.

Se per $f$ esiste una primitiva $F$,
$f$ si dice primitivabile.

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Teorema
Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$,
sia $F$ una primitiva di $f$,
allora tutte e sole le funzioni $F+c$ sono primitive.

Dimostrazione
Poiché $(F+c{)}^{\prime }=F^{\prime }+f$, allora
se $F$ è primitiva, allora $F+c$ è primitiva.

Viceversa, sia $G$ una primitiva,
(devo provare che $G=F+c$),
considero $G-F$,
$(G-F{)}^{\prime }=G^{\prime }-F^{\prime }=f-f=0$
uso il corollario del teorema di Lagrange,
se $(G-F{)}^{\prime }=0$ e siamo su un intervallo,
allora $G-F$ è costante.

$\square$

Osservazione
Tradizionalmente l’insieme delle primitive
si chiama “integrale indefinito”.

Risorse