proposizione metrica ristretta e topologia di sottospazio

Proposizione

Sia $(X,d)$ spazio metrico e $Y\subset X$ sottospazio topologico. Allora la restrizione $d_Y:=d{|}_{Y\times Y}:Y\times Y\to \mathbb{R}$ è una metrica su $Y$ che induce la topologia di sottospazio.

Dimostrazione

Che $d_Y$ sia una metrica segue subito dal fatto che lo è $d$. Se valgono su $X$ valgono anche su $Y$.

Che la topologia indotta su $Y$ da $d_Y$ sia la topologia di sottospazio segue subito dall’uguaglianza

$$B_{d_Y}(y,r)=B_d(y,r)\cap Y,$$

$\forall y\in Y$ e $\forall r>0$, che è di immediata verifica.

Corollario

$X$ spazio metrizzabile e $Y\subset X$ sottospazio $\Rightarrow Y$ metrizzabile.

Risorse