punto interno, esterno e di frontiera in R

Definizioni

Definizione
Sia $E\subseteq \mathbb{R}$, sia $x_0\in \mathbb{R}$,

dico che $x_0$ è interno a $E$ se
$\exists r>0:]x_0-r,x_0+r[\subseteq E$

(quindi $x_0$ è interno ad è se e solo se $E$ è un intorno di $x_0$)

Esempio
$E=\{1\}\cup [2,3[$
interno = $\dot{E}=]2,3[$

Definizione
Sia $E\subseteq \mathbb{R}$, sia $x_0\in \mathbb{R}$,

$x_0$ si dice esterno a $E$ se è interno al complementare di $E$.

$x_0$ è esterno $\iff$ $\exists r>0:]x_0-r,x_0+r[\subseteq \mathcal{C}E$

Esempio
$E=\{1\}\cup [2,3[$
esterno $=]-\infty ,1[\cup ]1,2[\cup ]3,+\infty [$

Definizione
Sia $E\subseteq \mathbb{R}$, sia $x_0\in \mathbb{R}$,

$x_0$ si dice di frontiera per $E$ se $x_0$ non è né interno, né esterno.

$\neg (\exists r>0:]x_0-r,x_0+r[\subseteq E)\wedge \neg (\exists r>0:]x_0-r,x_0+r[\subseteq \mathcal{C}E)$

se e solo se

$\forall r>0,$
$]x_0-r,x_0+r[\cap E\ne \varnothing$
$]x_0-r,x_0+r[\cap \mathcal{C}E\ne \varnothing$

(cioè in ogni intervallo di $x_0$ ci sono punti di $E$ e di $\mathcal{C}E$)

Esempio
Sia $E=\mathbb{Q}\cup ]1,2[$
$\dot{E}=\varnothing$
frontiera = $\partial E=[1,2]$

Risorse