sottospazi notevoli di Rn

Definizione

$D^n:=B^n:=\{x\in {\mathbb{R}}^n:||x||\le 1\}$ disco o boccia $n$ -dimesionale
con la norma euclidea $||x||=\sqrt{⟨x,x⟩}=\sqrt{x_1^2+\dots +x_n^2}$

per $n=0$ si ha $B^0=\{0\}$,
per $n=1$ si ha $B^1=[-1,1]\subset \mathbb{R}$,
per $n=2$ si ha $B^2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2\le 1\}\subset {\mathbb{R}}^2$,
per $n=3$ si ha $B^3=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2+z^2\le 1\}\subset {\mathbb{R}}^3$.

Definizione

$S^n:=\{x\in {\mathbb{R}}^{n+1}:||x||=1\}\subset {\mathbb{R}}^{n+1}$ sfera o ipersfera $n$ -dimensionale

per $n=0$ si ha $S^0=\{-1,1\}\subset \mathbb{R}$,
per $n=1$ si ha $S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=1\}\subset {\mathbb{R}}^2$ (la circonferenza unitaria che è unidimensionale),
per $n=2$ si ha $S^2=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2+z^2=1\}\subset {\mathbb{R}}^3$ (la sfera unitaria che è bidimensionale).

Definizione

$I:=[0,1]\subset \mathbb{R}$ intervallo

Definizione

${\mathbb{R}}^{+}:=[0,+\infty )\subset \mathbb{R}$ semiretta o raggio

Osservazione

Sono tutti metrizzabili con la metrica Euclidea.

Risorse