successione di funzioni

Definizione

Una successione di funzioni è una famiglia di funzioni $\{f_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, ciascuna definita su un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$, dove a ogni $n\in \mathbb{N}$ corrisponde una funzione $f_n:A\to \mathbb{R}$.

Scrittura:

$f_n(x)$ indica la funzione al passo $n$, valutata nel punto $x\in A$.

Convergenza puntuale:

La successione $\{f_n\}$ converge puntualmente a $f$ su $A$ se:

$$\forall x\in A,\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)$$

Convergenza uniforme:

La successione $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$ su $A$ se:

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}:\forall n\ge N,\forall x\in A,|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

Risorse