sviluppabilità in serie di Taylor

Definizione

Consideriamo $\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ con raggio di convergenza $R>0$ (o $R=+\infty$) e sia $f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ in $I_R$ dove

$I_R=\{\begin{array}{ll}(-R+x_0,R+x_0)& \text{se }R>0\\ \mathbb{R}& \text{se }R=+\infty \end{array}$

La funzione $f$ è di classe $C^{\infty }$ in $I_R$ e per ogni $k\in \mathbb{N}$ si ha che

$f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{n}n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)\cdot a_n\cdot (x-x_0{)}^{n-k}x\in I_R$

Vale $f^{(k)}(x_0)=k!\cdot a_k$ e quindi $a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$

Dunque $f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$ in $I_R$

serie di Taylor

Risorse