teorema caratterizzazione della continuità tramite le successioni

Teorema

Sia $f:E\to \mathbb{R}$, $E\subseteq \mathbb{R}$,
sia $\overline{x}\in E$
$f$ è continua in $\overline{x}$ se e solo se

$(\ast )$ per ogni successione $(x_n{)}_n$ a valori in $E$ tale che $\underset{n}{\lim }{x}_n=\overline{x}$
si ha $\underset{n}{\lim }f(x_n)=f(\overline{x})$

Dimostrazione

"$\Downarrow$"
Sia $f$ continua in $\overline{x}$, cioè
$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in E,|f(x)-f(\overline{x})|<\epsilon$
sia $(x_n{)}_n$ una successione in $E$ tale che $\underset{n}{\lim }{x}_n=\overline{x}$, cioè
$\forall \delta >0,\exists \overline{n}:\forall n,$
$n>\overline{n}\Rightarrow |x_n-\overline{x}|<\delta$

$\epsilon \stackrel{\text{continuitaˋ}}{\to }\delta \stackrel{\text{convergenza di}(x_n{)}_n}{\to }\overline{n}$

quindi
$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,$
$n>\overline{n}(\Rightarrow |x_n-\overline{x}|<\delta )\Rightarrow |f(x_n)-f(\overline{x})|<\epsilon$

quindi $\boxed{\underset{n}{\lim }f(x_n)=f(\overline{x})}$

"$\Uparrow$"
So che $(\neg (p\Rightarrow q)=p\wedge \neg q)$

Per assurdo suppongo $\neg (f\text{ eˋ continua in }\overline{x})$, cioè
$\neg (\underset{x\to \overline{x}}{\lim }f(x)=f(\overline{x}))$

$\exists {\epsilon }_0:\forall \delta ,\exists x_{\delta }\in E:$
$|x_{\delta }-\overline{x}|<\delta \wedge |f(x_{\delta })-f(\overline{x})|>{\epsilon }_0$

prendo $\delta =\frac{1}{n}$ allora $\exists x_n:|x_n-\overline{x}|\ge \frac{1}{n}\wedge |f(x_n)-f(\overline{x})|\ge {\epsilon }_0$

$0\le |x_n-\overline{x}|\le \underset{0}{\underbrace{\frac{1}{n}}}$ quindi anche $|x_n-\overline{x}|$ tende a zero

ora $\underset{n}{\lim }{x}_n=\overline{x}$ e $(f(x_n){)}_n$ è tale che $|f(x_n)-f(\overline{x})|\ge {\epsilon }_0>0$

perciò $(f(x_n){)}_n$ non converge a $f(\overline{x})$
ASSURDO

Risorse