teorema convergenza uniforme e continuità

Teorema

Sia $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ una successione di funzioni continue e sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$. Se $f_n$ converge uniformemente ad $f$ allora $f$ è continua in $[a,b]$.

Dimostrazione

$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n\ge \overline{n},\forall x\in [a,b],\left|f_n(x)-f(x)\right|\le \epsilon$
e sia $x_0\in [a,b],m\in \mathbb{N}$
$\forall \epsilon >0,\exists {\delta }_m>0:\forall x\in (x_0-{\delta }_m,x_0+{\delta }_m),\left|f_m(x)-f_m(x_0)\right|<\epsilon$

Dunque preso $m>\overline{n}$ e $x\in (x_0-{\delta }_m,x_0+{\delta }_m)$ allora
$\left|f(x)-f(x_0)\right|\le \left|f(x)-f_m(x)\right|+\left|f_m(x)-f_m(x_0)\right|+\left|f_m(x_0)-f(x_0)\right|\le 3\epsilon$

Risorse