teorema degli ideali di un campo

Teorema

Se $(A,+,\cdot )$ è un campo, i suoi unici ideali sono l’insieme $\{0\}$ e l’intero anello $A$.

Dimostrazione

Sia $I\subset A$ un ideale. Nel caso in cui $I=\{0\}$ abbiamo la prima parte della tesi. Altrimenti prendiamo $a\in I$ con $a\ne 0$. Essendo $A$ un campo $\exists a^{-1}\in A$ inverso di $a$. Per la legge di assorbimento $a\cdot a^{-1}=1\in I$. Applicando nuovamente la legge di assorbimento otteniamo $\forall x\in A$, $1\cdot x=x\in I$. Segue che $I=A$.

Viceversa …

Risorse