teorema degli zeri in R

Teorema

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, $f$ sia continua
supponiamo che
$f(a)<0$ e $f(b)>0$
oppure
$f(a)>0$ e $f(b)<0$
(cioè $f(a)f(b)<0$)

Allora $\exists \xi \in ]a,b[$ tale che $f(\xi )=0$

Dimostrazione

Supponiamo $f(a)<0$, $f(b)=0$

chiamo $a=a_0$ e $b=b_0$
considero $c_0=\frac{a_0+b_0}{2}$
considero $f(c_0)$
ho 3 possibilità:

• $f(c_0)<0$
• $f(c_0)=0$
• $f(c_0)>0$

se $f(c_0)=0$ allora ho finito

se $f(c_0)>0$ allora guardo la funzione in $[a_0,c_0]$
$f(a_0)<0,f(c_0)>0$
chiamo $a_1=a_0$ e $b_1=c_0$

se $f(c_0)<0$ allora guardo la funzione in $[c_0,b_0]$
$f(c_0)<0,f(b_0)>0$
chiamo $a_1=c_0$ e $b_1=b_0$

considero $c_1=\frac{a_1+b_1}{2}$
considero $f(c_1)$
ho 3 possibilità:

• $f(c_1)<0$
• $f(c_1)=0$
• $f(c_1)>0$

se $f(c_1)=0$ allora ho finito

se $f(c_1)>0\Rightarrow a_2=a_1,b_2=c_1$

se $f(c_1)<0\Rightarrow a_2=c_1,b_2=b_1$

considero $[a_2,b_2]$ e così via

Questa procedura si ferma dopo $k$ passi perché $f(c_k)=0$, oppure

costruisco una successione di intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati $([a_n,b_n]{)}_n$
in cui $f(a_n)<0,f(b_n)>0$

uso Cantor forte
$\exists \xi \in [a,b]:\bigcap _n[a_n,b_n]=\{\xi \}$

Per concludere basta provare che $f(\xi )=0$
osservo che
$|\xi -a_n|\le |b_n-a_n|=\frac{b_0-a_0}{2^n}$ tende a zero

quindi $\underset{n}{\lim }{a}_n=\xi$
analogamente $\underset{n}{\lim }{b}_n=\xi$

$f$ è continua, allora
$\underset{n}{\lim }f(a_n)=f(\xi )$
$\underset{n}{\lim }f(b_n)=f(\xi )$

però $f(a_n)<0,\forall n\Rightarrow \underset{n}{\lim }f(a_n)\le 0\Rightarrow f(\xi )\le 0$
e $f(b_n)>0,\forall n\Rightarrow \underset{n}{\lim }f(b_n)\ge 0\Rightarrow f(\xi )\ge 0$

$f(\xi )\ge 0\wedge f(\xi )\le 0\Rightarrow f(\xi )=0$

Risorse