teorema dei sottospazi topologici

Teorema

Sia $X$ uno spazio topologico e $Y \subset X$ un sottoinsieme. Allora la famiglia

T_{Y} := {U \cap Y ∣ U \subset X aperto}

è una topologia su $Y$ detta topologia indotta da $X$ .

La coppia $(Y, T_{Y})$ è detta topologia relativa o anche topologia di sottospazio.

$V \subset Y$ aperto $\Leftrightarrow$ $\exists U \subset X$ aperto t.c. $V = U \cap Y$

Dimostriamo che è una topologia

$\emptyset = \emptyset \cap Y \in T_{Y}$ .
$Y = X \cap Y \in T_{Y}$ .
$\forall {V_{α}}_{α \in A} \subset T_{Y}$ esistono ${U_{α}}_{α \in A}$ aperti di $X$ tali che $V_{α} = U_{α} \cap Y$ per ogni $α \in A$ . Allora $α \in A ⋃ V_{α} = α \in A ⋃ (U_{α} \cap Y) = (α \in A ⋃ U_{α}) \cap Y \in T_{Y} .$
$\forall V_{1}, V_{2} \in T_{Y}$ esistono $U_{1}, U_{2}$ aperti in $X$ tali che $V_{1} = U_{1} \cap Y$ e $V_{2} = U_{2} \cap Y$ . Allora $V_{1} \cap V_{2} = (U_{1} \cap U_{2}) \cap Y \in T_{Y} .$

$C \subset Y$ chiuso $\Leftrightarrow$ $\exists A \subset X$ chiuso t.c. $C = A \cap Y$

$I := [0, 1] \subset R$ intervallo
$R_{+} := [0, \infty) \subset R$ semiretta o raggio
$A := {1/ n ∣ n \in N, n \geq 1} \cup {0}$ non è discreta in quanto lo zero è p.d.a.