teorema dell’esistenza dell’estremo superiore in R

Teorema

Sia $A\subseteq \mathbb{R},A\ne \varnothing$ e $A$ superiormente limitato,
allora $\exists \xi \in \mathbb{R}:\xi$ estremo superiore di $A$.

Dimostrazione

$A\subseteq \mathbb{R}$ e $A\ne \varnothing$ (per ipotesi)

sia $A^{\ast }=$ $\{\text{maggioranti di }A\}$,
allora $A^{\ast }\ne \varnothing$ (perché $A$ è superiormente limitato)
e $\forall a\in A,\forall b\in A^{\ast },a\le b$ (per definizione di maggiorante)

Alla coppia $A,A^{\ast }$ posso applicare $S)$
quindi $\exists \xi \in \mathbb{R}:\forall a\in A,\forall b\in A^{\ast },a\le \xi \le b$

in particolare $\forall a\in A,a\le \xi \Rightarrow \xi$ è maggiorante

quindi $\forall b\in A^{\ast },\xi \le b$ e $\xi \in A^{\ast }\Rightarrow \xi$ è il minimo dei maggioranti.

Risorse