teorema di Cramer

Teorema

Consideriamo un sistema lineare con $n$ equazioni ad $n$ incognite $AX=b$, ovvero la matrice $A$ è quadrata, $A\in M_n(K)$, supponiamo inoltre che $A$ sia invertibile, allora esiste un’unica soluzione del sistema ed essa è data da $s=A^{-1}\cdot b$.

Osservazione
Questo teorema non ci dice soltanto che una soluzione esiste, ma ci fornisce anche un modo per calcolarla.

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema, dimostriamo due cose:

1. che $A^{-1}\cdot b$ è soluzione del sistema.
2. che $A^{-1}\cdot b$ è l’unica soluzione del sistema.

1- $A^{-1}\cdot b$ è soluzione del sistema se e solo se, se sostituiamo $X$ con $A^{-1}\cdot b$, otteniamo una uguaglianza vera nel sistema (notiamo che la sostituzione ha senso dato che $X$ è una matrice $n\times 1$ e $A^{-1}\cdot b$ è una matrice $n\times 1$).

$A\cdot (A^{-1}\cdot b)\stackrel{?}{=}b$
$(A\cdot A^{-1})\cdot b\stackrel{?}{=}b$
$1_n\cdot b\stackrel{?}{=}b$
$b=b$
vero!

Abbiamo verificato che l’uguaglianza è vera, dunque $A^{-1}\cdot b$ è soluzione del sistema, il quale è quindi compatibile.

2- per dimostrare che $A^{-1}\cdot b$ sia l’unica soluzione del sistema, supponiamo che ve ne sia un’altra, ovvero che $s^{\prime }\in M_{n,1}(K)$ sia soluzione del sistema e mostriamo che deve essere $s^{\prime }=A^{-1}\cdot b$

(ovvero mostriamo che dal fatto che $s^{\prime }$ è soluzione del sistema, discende che $s^{\prime }$ deve essere uguale a $A^{-1}\cdot b$)

abbiamo quindi supposto che

$A\cdot s^{\prime }=b$

ora moltiplico entrambi i membri a sinistra per $A^{-1}$

$A^{-1}\cdot (A\cdot s^{\prime })=A^{-1}\cdot b$
$(A^{-1}\cdot A)\cdot s^{\prime }=A^{-1}\cdot b$
$1_n\cdot s^{\prime }=A^{-1}\cdot b$
$s^{\prime }=A^{-1}\cdot b$

Quindi $s^{\prime }=A^{-1}\cdot b$.

Risorse