teorema di Fermat sulla derivata nulla in R

Teorema

Sia $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ intervallo, $x_0\in I$,

se
i) $x_0$ sia un punto di massimo relativo
ii) $x_0$ un punto interno al dominio $I$
iii) in $x_0$, $f$ sia derivabile

allora $f^{\prime }(x_0)=0$

Dimostrazione

Supponiamo $x_0$ punto di massimo relativo interno
allora $\exists r>0:]x_0-r,x_0+r[\subseteq I$,
e $\forall x\in ]x_0-r,x_0+r[,f(x)\le f(x_0)$

sia $x\in ]x_0-r,x_0[$
$R_{x_0}^f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$,
(perché il nominatore è minore o uguale a zero, mentre il denominatore è minore di zero)
$⟹\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{R}_{x_0}^f(x)\ge 0$
(per la permanenza del segno, esiste perché è derivabile)

sia $x\in ]x_0,x_0+r[$
$R_{x_0}^f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$,
(perché il nominatore è minore o uguale a zero, mentre il denominatore è maggiore di zero)
$⟹\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{R}_{x_0}^f(x)\le 0$

ma il limite da destra e da sinistra devono essere uguali
$⟹f^{\prime }(x_0)=0$

$\square$

“Se $f$ è derivabile, in un punto di massimo o minimo relativo interno al dominio, la derivata è nulla.”

Risorse