teorema di de l'Hopital

teorema di de l’Hôpital

Teorema

Siano $f,g:[a,b[\to \mathbb{R}$, $a,b\in \mathbb{R}$, $a<b$,
$f,g$ siano derivabili e
supponiamo che
$\forall x\in ]a,b[,g^{\prime }(x)\ne 0$
supponiamo che
$\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }g(x)$

se $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ esiste e vale $L$, con $L\in \tilde{\mathbb{R}}$

allora $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ esiste e vale $L$.

Dimostrazione

Per comodità prolungo $f$ e $g$ in $b$,
ponendole $f(b)=g(b)=0$
(ora sono continue in $b$ e derivabili in $]a,b[$ ).

Osservo che $g^{\prime }(x)\ne 0$ per $x\in ]a,b[$,
allora non ci può essere un $x_0\in ]a,b[$ in cui $g(x_0)=0$,
poiché altrimenti per Rolle $g^{\prime }(x)=0$ da qualche parte,
mentre $g^{\prime }(x)\ne 0$ per ogni $x$ per ipotesi.

Quindi ha senso considerare $\frac{f(x)}{g(x)}$ in $]a,b[$,

so che $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$ (supponiamo $L\in \mathbb{R}$)
quindi $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in ]a,b[$,
$b-\delta <x<b\Rightarrow |\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}-L|<\epsilon$

ora considero $x\in ]b-\delta ,b[$
applico il teorema di Cauchy a $f,g$ su $[x,b]$
allora $\exists \xi \in ]x,b[:$

$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(x)}{g(b)-g(x)}=\frac{-f(x)}{-g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}$

$b-\delta <x<\xi <b$ quindi $b-\delta <\xi <b$

quindi $|\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}-L|<\epsilon$

metto tutto assieme
$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in ]a,b[$,
$b-\delta <x<b\Rightarrow |\frac{f(x)}{g(x)}-L|<\epsilon$
$\Updownarrow$
$\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$

Osservazione
Vale anche se $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }g(x)=\pm \infty$
se $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$
allora $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$

Osservazione
Vale anche se $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=\pm \infty$
se $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=L$
allora $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }g(x)=\pm \infty$

Risorse