teorema di omomorfismo di gruppi

Teorema (Logar)

Se $f:G_1\to G_2$ è un omomorfismo, allora $\exists !$ monomorfismo $\tilde{f}:G_1/\ker f\to G_2$ tale che il seguente diagramma è commutativo:

$$\begin{array}{ccc}{G}_1& \stackrel{f}{\to }& G_2\\ \downarrow \pi & & \uparrow \tilde{f}\\ & G_1/\ker f& \end{array}$$

dove $\pi$ è la proiezione canonica.

Cioè $f=\tilde{f}\circ \pi$.

In particolare, se $f$ è suriettivo (epimorfismo), allora $\tilde{f}$ è un isomorfismo (suriettivo e iniettivo).

Cioè su $f$ è suriettivo, $G_2\cong G_1/\ker f$.

Teorema

Sia $f:A\to B$ un omomorfismo di gruppi; allora $f$ si può fattorizzare come composto di un epimorfismo ed un monomorfismo.

Dimostrazione

Data $f$ definiamo la relazione di equivalenza $\sim$ tale che $a\sim b\iff f(a)=f(b)$. Costruiamo il gruppo quoziente $A/\sim$.
Si definisca ora $\pi :A\to A/\sim$ che manda ogni elemento di $A$ nella sua classe
di equivalenza rispetto a $\sim$. $\pi$ è banalmente suriettiva.
Si definisce poi $m:A/\sim \to B$ che manda ogni classe di $A/\sim$ nell’immagine
di un suo elemento attraverso $f$. $m$ è iniettiva. Inoltre abbiamo $f=\pi \circ m$.

Osservazione

Tenendo conto dell’Osservazione 4.iii, della definizione 17 e dell’esercizio E18 si ha che $\sim$ è la relazione indotta dal sottogruppo $\ker f$ di $A$. ???

Risorse