teorema frontiera è chiusura meno interno

Teorema

1. $C{L}_{x}A=X-Ex{t}_{x}A$
2. ${\text{Fr}}_{X}A={\text{CL}}_{X}A-{\text{Int}}_{X}A$

Dimostrazione 1.

$(\subset )$ $A\subset X-Ex{t}_{X}A\Rightarrow {\text{CL}}_{X}A\subset X-Ex{t}_{X}A$.

$(\supset )$ $X-C{L}_{X}A\subset X-A\Rightarrow X-C{L}_{X}A\subset In{t}_X(X-A):=Ex{t}_{X}A\Rightarrow C{L}_{X}A\supset X-Ex{t}_{X}A$.

Dimostrazione 2.

$F{r}_{X}A=C{L}_{X}A\cap C{L}_X(X-A)=C{L}_{X}A\cap (X-Ex{t}_X(X-A))=$
$=C{L}_{X}A\cap (X-In{t}_{X}A)=C{L}_{X}A-In{t}_{X}A$

Alternativamente:

$(\subset )$ Sappiamo ${\text{Fr}}_{X}A\subset {\text{CL}}_{X}A$. Resta da dimostrare ${\text{Fr}}_{X}A\cap {\text{Int}}_{X}A=\varnothing$.
Per assurdo se $\exists x\in {\text{Fr}}_{X}A\cap {\text{Int}}_{X}A\Rightarrow {\text{Int}}_{X}A\cap (X-A)\ne \varnothing$ assurdo.

$(\supset )$ $\forall x\in {\text{CL}}_{X}A-{\text{Int}}_{X}A$, $\forall U\subset X$ intorno aperto di $x$ in $X$ dimostriamo $U\cap (X-A)\ne \varnothing$.
Supponiamo per assurdo $U\cap (X-A)=\varnothing \Rightarrow U\subset A\Rightarrow U\subset {\text{Int}}_{X}A\Rightarrow x\in {\text{Int}}_{X}A$ assurdo.
Quindi $x\in {\text{CL}}_X(X-A)$ e per ipotesi $x\in {\text{CL}}_{X}A\Rightarrow x\in {\text{CL}}_{X}A\cap {\text{CL}}_X(X-A)={\text{Fr}}_{X}A$.

Risorse