teorema integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue

Teorema

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, $f$ continue,
allora $f$ è integrabile secondo Riemann ($f\in \mathcal{R}([a,b])$).

Dimostrazione

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua $\stackrel{Heine}{⟹}$ $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ uniformemente continua

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x_1,x_2\in [a,b],$
$|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

fissiamo $\epsilon >0$ e grazie all’uniforme continuità otteniamo $\delta$ tale che
$\forall x_1,x_2\in [a,b],|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\epsilon }{b-a}$

considero $\Delta \in \mathcal{D}$ tale che $\forall i,x_i-x_{i-1}<\delta$

calcolo $S(f,\Delta )-s(f,\Delta )=$
$=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})(su{p}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)-in{f}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x))$

ora considero il fatto che $f$ è continua

$su{p}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)\stackrel{Weierstrass}{=}ma{x}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)=f(x_{max,i})$, con $x_{max}\in [x_{i-1},x_i]$

$in{f}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)=mi{n}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)=f(x_{min,i})$, con $x_{min}\in [x_{i-1},x_i]$

$supf(x)-inff(x)=f(x_{max,i})-f(x_{min,i})$
$|x_{max,i}-x_{min,i}|<\delta$
$\Rightarrow |f(x_{max})-f(x_{min})|<\frac{\epsilon }{b-a}$
$\Rightarrow S(f,\Delta )-s(f,\Delta )=\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})(su{p}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)-in{f}_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x))$
$\le \sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})\frac{\epsilon }{b-a}$
$\le \frac{\epsilon }{b-a}\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=\frac{\epsilon }{b-a}(b-a)=\epsilon$

Risorse