teorema integrabilità secondo Riemann delle funzioni monotone

Teorema

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, $f$ monotona,
allora $f$ è integrabile secondo Riemann.

Dimostrazione

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, crescente,
è limitata,
considero $\Delta =\{a,a+\frac{b-a}{n},a+2\frac{b-a}{n},\dots ,a+(n-1)\frac{b-a}{n},b\}$
è la suddivisione in $n$ intervalli tutti uguali
$S(f,\Delta )-s(f,\Delta )=\sum _{i=1}^n\frac{b-a}{n}(f(a+i(b-a))-f(a+(i-1)(b-a)))=$
$=\frac{b-a}{n}((f(x_1)-f(x_0))+(f(x_2)-f(x_1))+\cdots +(f(x_n)-f(x_{n-1})))=$
$=\frac{b-a}{n}(f(x_n)-f(x_0))$

la faccio diventare piccola scegliendo $n$ grande.

Risorse