teorema irriducibile implica primo Z

Teorema

Se $p\in \mathbb{Z}$ è un elemento irriducibile, allora $p$ è primo.

Dimostrazione

Sia $p$ irriducibile. Vogliamo vedere che se $p$ divide un prodotto $ab$ allora divide uno dei fattori. A tal fine consideriamo $d=MCD(a,p)$, il quale esiste per il Teorema 2.1.9. Per l’identità di Bézout si ha inoltre che $\exists \alpha ,\beta \in \mathbb{Z}$ per i quali $d=\alpha a+\beta p$. Per costruzione si ha anche che $d|p$ e ciò implica che $\exists u:p=du$. Essendo $p$ irriducibile si ottiene che $d$ è unitario oppure $u$ è unitario. Consideriamo i due casi.

Caso i) Se $d$ è unitario consideriamo l’identità $d=\alpha a+\beta p$ e moltiplicando ambo i membri per $d^{-1}$ otteniamo:
$1=(\alpha a+\beta p)d^{-1}=d^{-1}\alpha a+d^{-1}\beta p$.

Moltiplichiamo ora ambo i membri per $b$:
$b=d^{-1}\alpha ab+d^{-1}\beta pb$.

Osserviamo che grazie ai due fattori in grassetto entrambi gli addendi sono divisibili per $p$ e dunque l’intera espressione è divisibile per $p$. Dunque $p|b$.

Caso ii) Se $u$ è unitario consideriamo la fattorizzazione $p=du$ e moltiplicando ambo i membri per $u^{-1}$ otteniamo:
$d=p{u}^{-1}$.

Per costruzione $d$ divide $a$, e quindi $p{u}^{-1}|a$ ovvero $\exists c:a=p{u}^{-1}c$ ed in particolare $p|a$.

Dunque in entrambi i casi i), ii) si conclude che $p$ è un elemento primo.

Risorse