teorema proprietà dell’estremo superiore in R

Teorema

Sia $A\subseteq \mathbb{R},A\ne \varnothing$
sia $\alpha \in \mathbb{R}$

$$\alpha =supA\iff \{\begin{array}{l}\forall a\in A,a\le \alpha \\ \forall \epsilon >0,\exists \overline{a}\in A:\overline{a}>\alpha -\epsilon \end{array}$$

Le chiamo (1) e (2).

Dimostrazione

Sia $\alpha =supA$, cioè $\alpha$ è il minimo dei maggioranti,
ma allora $\alpha$ è un maggiorante, allora vale (1),
allora $\forall \epsilon >0,\alpha -\epsilon$ non è un maggiorante.

Osservazione
Se un insieme ha minimo (o massimo), il minimo è l’estremo inferiore (o il massimo è l’estremo superiore).

Risorse