teorema scambio del limite con la derivata

Teorema

Sia $f_n:]a,b[\to \mathbb{R}$ una successione di funzioni derivabili. Se

$i)$ la successione delle derivate prime $\{f_n^{\prime }\}$ converge uniformemente in $]a,b[$ a $g$

$ii)$ la successione delle funzioni $\{f_n\}$ converge almeno in un punto $t_0\in ]a,b[$

allora anche la successione delle funzioni $\{f_n\}$ converge uniformemente in $]a,b[$. Sia $f$ il suo limite, risulta $f$ derivabile e $f^{\prime }=g$.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{f}_n^{\prime }(t)={\left(\underset{n\to +\infty }{\lim }{f}_n(t)\right)}^{\prime }t\in ]a,b[$

Dimostrazione

Risorse