teorema se differenziabile esistono le derivate direzionali in Rn

teorema se allora

Teorema

Sia $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R}$, $A$ aperto e $\underline{x_0}\in A$.

Se $f$ è differenziabile in $\underline{x_0}$ allora per ogni $\underline{v}\in {\mathbb{R}}^N$, $\Vert \underline{v}\Vert =1$, esiste $\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(\underline{x_0})=df(\underline{x_0})(\underline{v})$.

Dimostrazione

$\frac{f(\underline{x_0}+t\underline{v})-f(\underline{x_0})}{t}=\frac{df(\underline{x_0})(t\underline{v})+o(\left|t\right|)}{t}$

questo poiché $df(x_0)$ è lineare e $\Vert v\Vert =1$, $\Vert tv\Vert =\left|t\right|\Vert v\Vert =\left|t\right|$

$=df(\underline{x_0})(\underline{v})+\frac{o(\left|t\right|)}{t}\stackrel{t\to 0}{⟶}df(\underline{x_0})$

Esempio: Consideriamo $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2}& \text{se }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{se }(x,y)=(0,0)\end{array}$

La $f$ ammette tutte le derivate parziali nell’origine ma $f$ non è differenziabile nell’origine.
La $f$ non è continua in $(0,0)$ e dunque non è nemmeno differenziabile in $(0,0)$.

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0$

Osservazione: Se $f$ è differenziabile in $\underline{x_0}\in {\mathbb{R}}^N$ allora

$\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(\underline{x_0})=df(\underline{x_0})(\underline{v})\underline{v}\in {\mathbb{R}}^N$ versore

Osservazione: $L=df(\underline{x_0})$
Se $A$ è il vettore $A=(a_1,\dots ,a_N)$ rappresentativo di $L$ allora

$A\cdot \underline{v}=⟨A,\underline{v}⟩=a_1{v}_1+\dots +a_N{v}_N=L(\underline{v})=\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(\underline{x_0})$
dove $\underline{v}=(v_1,\dots ,v_N)$

Corollario

Se $f$ è differenziabile in $\underline{x_0}\in {\mathbb{R}}^N$ allora esiste

$\frac{\partial f}{\partial {\underline{e}}_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}=L({\underline{e}}_i)=a_i$

e quindi $L$ è rappresentato da

$\nabla f(\underline{x_0})=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\underline{x_0}),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_N}(\underline{x_0})\right)$

il gradiente di $f$ in $\underline{x_0}$.

Osservazione: $\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(\underline{x_0})=⟨\nabla f(\underline{x_0}),\underline{v}⟩$

Osservazione: Se $f$ è differenziabile in $\underline{x_0}\in {\mathbb{R}}^N$ e $L=df(\underline{x_0})$ si ha che

$L(\underline{h})=\frac{\partial f}{\partial {\underline{x}}_1}(\underline{x_0})\cdot h_1+\dots +\frac{\partial f}{\partial {\underline{x}}_N}(\underline{x_0})\cdot h_N=⟨\nabla f(\underline{x_0}),\underline{h}⟩$

$\underline{h}=(h_1,\dots ,h_N)$
e dunque

1. $\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(\underline{x_0})=⟨\nabla f(\underline{x_0}),\underline{v}⟩$ formula del gradiente
2. La formula si Taylor al primo ordine $f(\underline{x})=f(\underline{x_0})+⟨\nabla f(\underline{x_0}),\underline{x}-\underline{x_0}⟩+J(\Vert \underline{x}-\underline{x_0}\Vert )$
3. Se $N=2$ l’equazione del piano tangente è $z=f(\underline{x_0}),\underline{y_0}+\frac{\partial f}{\partial x}(\underline{x_0})(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(\underline{x_0})(y-y_0)$

Osservazione: Se considero $g(x)=f(x,y_0)$ la retta tangente al grafico di $g$ in $x_0$ è
$g(x_0)+g^{\prime }(x_0)(x-x_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(\underline{x_0})(x-x_0)$

Osservazione: Se $f$ non è differenziabile in $\underline{x_0}$ allora non è detto che valga la formula del gradiente, cioè che valga $\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(\underline{x_0})=⟨\nabla f(\underline{x_0}),\underline{v}⟩$

Esempio: Consideriamo la funzione $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}& \text{se }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{se }(x,y)=(0,0)\end{array}$

Vale la formula del gradiente in $(0,0)$?

• $f$ è continua in $(0,0)$:
  $\left|f(x,y)-f(0,0)\right|=\left|\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\right|\le \left|\frac{(x^2+y^2)y}{x^2+y^2}\right|=\left|y\right|\stackrel{\sqrt{x^2+y^2}\to 0}{⟶}0$

• La $f$ ammette derivate parziali in $(0,0)$:
  $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0-0}{h}=0$
  $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\underset{k\to 0}{\lim }\frac{0-0}{k}=0$

  $\nabla f(0,0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0),\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\right)=(0,0)$

• $f$ non è differenziabile in $(0,0)$:
  Se lo fosse, allora $df(\underline{0})(h,k)=⟨\nabla f(\underline{0}),(h,k)⟩$

  e inoltre $\underset{(h,k)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(h,k)-f(0,0)-⟨\nabla f(\underline{0}),(h,k)⟩}{\Vert (h,k)-(0,0)\Vert }=\underset{(h,k)\to \underline{0}}{\lim }\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=$
  ${\lim }_{(h,k)\to \underline{0}}\frac{h^{2}k}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}}={\lim }_{(h,k)\to \underline{0}}\frac{h^{2}k}{(h^2+k^2{)}^{3/2}}$

  Studiamo il limite lungo la retta $k=h$

  $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h^3}{(2h^2{)}^{3/2}}=\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{h}{\sqrt{2h^2}}\right)}^3=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2}\cdot 2}& \text{se }h\to 0^{+}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}\cdot 2}& \text{se }h\to 0^{-}\end{array}$

  dunque il limite non esiste e quindi $f$ non è differenziabile in $(0,0)$.

• Non vale la formula del gradiente in $(0,0)$:
  Considero $v=(v_1,v_2)$, $\Vert v\Vert =1=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=1$

  $$\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(0,0)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f((0,0)+t(v_1,v_2))-f(0,0)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(t{v}_1,t{v}_2)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t^2{v}_1^{2}t{v}_2}{t^2{v}_1^2+t^2{v}_2^2}\frac{1}{t}=v_1^2{v}_2$$

  Se $\underline{v}=(v_1,v_2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ allora si ha che

  $\frac{\partial f}{\partial \underline{v}}(0,0)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\ne ⟨\nabla f(0,0),\underline{v}⟩=0\Rightarrow$ la formula del gradiente non vale.

Risorse