differenziale

Definizione

Considero $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R}$, $A$ aperto e $\underline{x_0}\in A$. Diciamo che $f$ è differenziabile in $\underline{x_0}\in A$ se esiste una applicazione lineare $L_{\underline{x_0}}:{\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R}$ tale che

$\underset{\underline{x}\to \underline{x_0}}{\lim }\frac{f(\underline{x})-f(\underline{x_0})-L_{\underline{x_0}}(\underline{x}-\underline{x_0})}{\Vert \underline{x}-\underline{x_0}\Vert }=0$

o equivalentemente $f(\underline{x})=f(\underline{x_0})+L_{\underline{x_0}}(\underline{x}-\underline{x_0})+o(\Vert \underline{x}-\underline{x_0}\Vert )$

L’operatore $L_{\underline{x_0}}$ è il differenziale di $f$ in $\underline{x_0}$ e $L_{\underline{x_0}}=df(\underline{x_0})$.

Caso $N=1$

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+R(x)$ dove $R(x)=o(\left|x-x_0\right|)$

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R(x)}{x-x_0}=0$

$df(x_0):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$x\mapsto f^{\prime }(x_0)\cdot x$
$(x-x_0)\mapsto f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)$

Risorse