teorema successione convergente allora di Cauchy

Teorema

Se una successione in $\mathbb{R}$ è convergente, allora è una successione di Cauchy.

Dimostrazione

$(a_n{)}_n$ convergente, cioè $\underset{n}{\lim }{a}_n=\overline{a}$ con $\overline{a}\in \mathbb{R}$,
cioè $\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow |a_n-\overline{a}|<\frac{\epsilon }{2}$.

Allora se $n,m>\overline{n}$, allora valgono
$|a_n-\overline{a}|<\frac{\epsilon }{2}$
$|a_m-\overline{a}|<\frac{\epsilon }{2}$

quindi $|a_n-a_m|\le |a_n-\overline{a}+\overline{a}-a_m|\le |a_n-\overline{a}|+|a_m-\overline{a}|<\epsilon$

$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,m,$
$n,m>\overline{n}\Rightarrow |a_n-a_m|<\epsilon$

$\square$

Osservazione
Questo teorema vale in tutti gli spazi in cui sia definita una distanza.

Risorse