topologia euclidea su R

Definizione

$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x<b\}$

$\mathcal{B}=\{(a,b)\mid a<b\}$ è base per una topologia su $\mathbb{R}$. Infatti:

1. $\bigcup _{a<b}(a,b)=\mathbb{R}$
2. $\forall (a,b),(c,d)\in \mathcal{B},(a,b)\cap (c,d)=\{\begin{array}{ll}\varnothing & \text{se }b\le c\text{ o }d\le a\\ (e,f)& \text{con }e,f\in \{a,b,c,d\}\text{ altrimenti}\end{array}\subset (e,f)\in \mathcal{B}$

A parole:

1. L’unione di tutti gli intervalli aperti limitati è $\mathbb{R}$.
2. L’intersezione di due intervalli aperti limitati è vuota oppure un intervallo aperto limitato ($\in \mathcal{B}$).

Si ha:

• $U\subset \mathbb{R}$ aperto $\iff \forall x\in U\exists a<b$ t.c. $x\in (a,b)\subset U$ $\iff$ $\exists \epsilon >0:(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset U$
• $(a,+\infty )={\bigcup }_{b>a}(a,b)$, $(-\infty ,b)={\bigcup }_{a<b}(a,b)$ aperti.
• $\{a\}$, $[a,b]$, $[a,+\infty )$, $(-\infty ,b]$ chiusi (ma esistono molti altri chiusi).
• $(a,b]$, $[a,b)$ non sono né aperti né chiusi in $\mathbb{R}$, $\forall a<b$.

Risorse