applicazione continua aperta e chiusa

Definizione

• $f:X\to Y$ è aperta se $\forall U\subset X$ aperto in $X$ si ha $f(U)$ aperto in $Y$
• $f:X\to Y$ è chiusa se $\forall C\subset X$ chiuso in $X$ si ha $f(C)$ chiuso in $Y$

In altre parole:

• $f:X\to Y$ aperta $\iff$ $f$ manda aperti in aperti
• $f:X\to Y$ chiusa $\iff$ $f$ manda chiusi in chiusi

Osservazioni

• Una costante $c:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è continua e chiusa, ma non aperta (è continua perché la controimmagine è $X$ che è aperto)
• $f:X\to Y$ aperta $\Rightarrow$ $f(X)\subset Y$ aperto
• $f:X\to Y$ chiusa $\Rightarrow$ $f(X)\subset Y$ chiuso
• $A\subset X$ aperto (risp. chiuso) $\iff$ inclusione $i_A:A\hookrightarrow X$ aperta (risp. chiusa)

Esempio

${\text{id}}_{\mathbb{R}}:{\mathbb{R}}_{\text{dis}}\to \mathbb{R}$ continua e biiettiva ma l’inversa non è continua.
Quindi non vale che se $f:X\to Y$ continua biiettiva allora $f^{-1}:Y\to X$ continua.

Risorse