Base canonica o standard

Definizione

La base canonica (o base standard) di uno spazio vettoriale è la base più naturale e semplice, i cui vettori hanno un unico componente uguale a 1 e tutti gli altri uguali a 0.

Per Rn

La base canonica di ${\mathbb{R}}^n$ è:

$$\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$$

dove:

$$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\dots ,e_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$

Per lo spazio dei polinomi

La base canonica di $\mathbb{R}[x{]}_{\le n}$ (polinomi di grado $\le n$) è:

$$\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$$

Per lo spazio delle matrici

La base canonica di $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ è:

$$\{E_{11},E_{12},\dots ,E_{mn}\}$$

dove $E_{ij}$ è la matrice con 1 in posizione $(i,j)$ e 0 altrove.

Proprietà

• I vettori della base canonica sono ortonormali rispetto al prodotto scalare standard
• Le coordinate di un vettore rispetto alla base canonica coincidono con le sue componenti
• La rappresentazione matriciale di un operatore lineare rispetto alla base canonica è la matrice standard dell’operatore

Risorse