basi di topologie

Definizione

Una famiglia $\mathcal{B}$ di aperti di uno spazio topologico $X$ è detta base per $X$ se $\forall U\subset X$ aperto, $\exists \{B_i{\}}_{i\in I}\subset \mathcal{B}$ t.c. $U={\bigcup }_{i\in I}{B}_i$. Gli elementi di $\mathcal{B}$ sono detti aperti basici.

In altre parole $\mathcal{B}$ è base per $X\iff$ gli elementi di $\mathcal{B}$ sono aperti e ogni aperto di $X$ è unione di elementi di $\mathcal{B}$.

Osservazione

Per definizione di base, se $\mathcal{B}$ è base per $X$ allora $U\subset X$ aperto $\iff \forall x\in U$, $\exists B\in \mathcal{B}$ t.c. $x\in B\subset U$.

Esempio: La famiglia dei singoletti $\mathcal{B}=\{\{x\}\mid x\in X\}$ è base per la topologia discreta.

Teorema

Sia $X$ un insieme e $\mathcal{B}\subset \mathcal{P}(X)$ una famiglia di sottoinsiemi di $X$. Allora $\exists {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$ topologia su $X$ t.c. $\mathcal{B}$ è base per ${\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}\iff$

1. $X={\bigcup }_{B\in \mathcal{B}}B$
2. $\forall B_1,B_2\in \mathcal{B},\forall x\in B_1\cap B_2\Rightarrow \exists B\in \mathcal{B}$ t.c. $x\in B\subset B_1\cap B_2$.

Inoltre ${\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$ è unica (topologia generata da $\mathcal{B}$).

Nel caso $\boxed{\Rightarrow }$, la dimostrazione segue subito dalla definizione e osservazione precedente.

Nel caso $\boxed{\Leftarrow }$

Definiamo ${\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}=\left\{{\bigcup }_{B\in J}B|J\subset \mathcal{B}\right\}$

L’insieme di tutte e sole le unioni di elementi di $\mathcal{B}$.

Osservazione

Per definizione di ${\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$, $U\in {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}\iff \forall x\in U,\exists B\in \mathcal{B}$ t.c. $x\in B\subset U$.

Mostriamo che ${\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$ è una topologia su $X$.

1. $\varnothing \in {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$, ottenuto con $J=\varnothing$
2. $X\in {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$, ottenuto con $J=\mathcal{B}$ in virtù di (1)
3. $\forall \{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}\subset {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}\Rightarrow \forall \alpha \in A,\exists J_{\alpha }\subset \mathcal{B}$ t.c. $U_{\alpha }={\bigcup }_{B\in J_{\alpha }}B\Rightarrow {\bigcup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }={\bigcup }_{B\in J}B\in {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$ con $J={\bigcup }_{\alpha \in A}{J}_{\alpha }\subset \mathcal{B}$
4. $\forall U_1,U_2\in {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}},\forall x\in U_1\cap U_2\Rightarrow \exists B_1,B_2\in \mathcal{B}$ t.c. $x\in B_1\subset U_1$ e $x\in B_2\subset U_2\Rightarrow x\in B_1\cap B_2\subset U_1\cap U_2\Rightarrow$ per (2) $\exists B\in \mathcal{B}$ t.c. $x\in B\subset B_1\cap B_2\subset U_1\cap U_2\Rightarrow U_1\cap U_2\in {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$.

$\forall B\in \mathcal{B}\Rightarrow B\in {\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$ ottenuto con $J=\{B\}\Rightarrow \mathcal{B}$ è base per ${\mathcal{T}}_{\mathcal{B}}$.

L’unicità segue subito dalle due osservazioni precedenti.

Risorse