conseguenze del teorema di Lagrange in R

Teoremi

$1)$ Derivate nulle e funzioni costanti

Teorema
Supponiamo che $f:I\to \mathbb{R}$ derivabile,
se $\forall x\in I,f^{\prime }(x)=0$, allora $f$ è costante.

Dimostrazione
Per assurdo, $f$ non sia costante
$\exists x_1,x_2\in I:f(x_1)\ne f(x_2)$

Applico Lagrange a $f_{|[x_1,x_2]}$
lo posso fare perché $[x_1,x_2]\subseteq I$
e $f$ è derivabile (e quindi continua) su $I$.

Allora dovrebbe essere $\exists \xi \in ]x_1,x_2[:f^{\prime }(\xi )=0$

però $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

e $f(x_1)-f(x_2)\ne 0$ e $x_2-x_1\ne 0$

quindi $\exists \xi \in ]x_1,x_2[:f^{\prime }(\xi )\ne 0$

Impossibile.

$\square$

Osservazione
Per essere vero deve essere definita su un intervallo.

$2)$ Crescenza e derivate

Teorema
Sia $f:I\to \mathbb{R}$ derivabile, $I$ intervallo,

$f$ è crescente su $I$ $\iff$ $\forall x\in I,f^{\prime }(x)\ge 0$

Dimostrazione
"$\Rightarrow$"
$f$ sia crescente, fisso $x_0\in I$

considero $R_{x_0}^f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

se $x>x_0$,
$R_{x_0}^f(x)=\frac{\stackrel{\ge 0}{\overbrace{f(x)-f(x_0)}}}{\underset{>0}{\underbrace{x-x_0}}}\ge 0$

se $x<x_0$,
$R_{x_0}^f(x)=\frac{\stackrel{\le 0}{\overbrace{f(x_0)-f(x)}}}{\underset{<0}{\underbrace{x-x_0}}}\ge 0$

$f$ crescente $\Rightarrow$ $R_{x_0}^f(x)\ge 0$, $\forall x\ne x_0$

ora $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }{R}_{x_0}^f(x)\ge 0$
per la permanenza del segno

"$\Leftarrow$"
Supponiamo $\forall x\in I,f^{\prime }(x)\ge 0$

per assurdo suppongo $f$ non sia crescente,
applico Lagrange a $f_{|[x_1,x_2]}$
e trovo $\xi$ tale che

$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0$

Impossibile.

$\square$

Risorse