conseguenze dell’esistenza dell’estremo superiore in R

Teoremi

$1)$ $N$ è superiormente illimitato

Dimostrazione

Per assurdo supponiamo che
$\exists M \in R : \forall n, n \leq M$

allora $N$ è non vuoto e $N$ è superiormente limitato
$\Rightarrow \exists ξ \in R : ξ = s u p N$

Applico la seconda proprietà del $s u p$ con $ε = 1$

Allora $\exists \overline{n} \in R : \overline{n} > ξ - 1$

ma allora $\overline{n} + 1 > ξ = s u p N$

che è impossibile

$2)$ Proprietà di Archimede

Siano $ε, M \in R, ε > 0, M > 0$
allora $\exists \overline{n} \in R : \overline{n} \cdot ε > M$

Dimostrazione
Per assurdo $\forall n \in N, ε n \leq M$
allora $E = {n \cdot ε : n \in N}$ è superiormente limitato (e non vuoto)

sia $ξ \in R, ξ = s u pE$

Applico la seconda proprietà del $s u p$ con $ε$ delle ipotesi
$\exists \overline{n} \in N : \overline{n} \cdot ε > ξ - ε$

ma allora $(\overline{n} + 1) \cdot ε > ξ = s u pE$

che è impossibile

$3)$ $\frac{1}{n}$ diventa “piccolo quanto si vuole”

Sia $ε > 0$ allora $\exists \overline{n} \in N : 0 < \frac{1}{n} < ε$

Dimostrazione
Considero la proprietà di Archimede con $ε$ delle ipotesi e $M = 1$

per Archimede
$\exists \overline{n} \in N : ε \overline{n} > M = 1$
cioè $ε \overline{n} > 1$
ma allora $0 < \frac{1}{n} < ε$

$4)$ “Densità di $Q$ in $R$ ”

Teorema
$Q$ è denso in $R$ , cioè

siano $a, b \in R$ con $a < b$
allora $\exists q \in Q : a < q < b$
con $q = \frac{k}{n}, n \neq = 0$

Dimostrazione
Se $a < 0 < b$ allora $q = 0$ .

Se $a < b < 0$ allora posso cambiare il segno, quindi $- \frac{k}{n}$ va bene.

Quindi l’unico caso da considerare è $0 \leq a < b$ .

Chiamo $ε = b - a$

$\exists n \in N : 0 < \frac{1}{n} < b - a$

ora sommo $\frac{1}{n}$ “tante volte”

$\exists k : \frac{k - 1}{n} \leq a \leq \frac{k}{n}$

Sono sicuro che $a < \frac{k}{n} < b$ ?

Sì, perché $\frac{1}{n} < b - a$